後繼記為 n′起先我們有一個最小的數 0然後對它進行一係列後繼運算就可以陸續地得到其他的自然數0, 0′, 0′′, 0′′′, .……上述所有的數所構成的總體就被稱為自然數。
為簡便起見,人們為這裡的每一個數都取了一個名字,如1 = 0′, 2 = 0′′, 3 = 0′′′, ……由此我們得到了自然數的體係。
我們仍然覺得逐個取後繼的方式比較麻煩,例如若想寫出 10,則需要從零開始取 10 次後繼10 = 0′′′′′′′′′′.這可真是太tm麻煩了!
我們來想一種更快的增長方式吧引入了一個新的運算符 ,將這樣的運算表示為a b = a′′……′(省略b次後繼)這個運算被稱為加法,它代表將後繼運算重複 b 次這樣一種操作同理,我們可以運用這種方式進行進一步的拓張我們就要將 a 加上自身,並將這個過程重複若乾次。
我們引入一個新的運算符 ×,將這樣的運算表示為a × b = a a . . . a(省略b個a)這個運算被稱為乘法,它代表將 b 個 a 進行相加。
它的增長速度遠遠超過了加法。
對乘法重複若乾次,我們就可以得到一個增長更快的運算。
仿照之前的過程,我們進一步引入一個新的運算符 ^,將這一運算表示為a^b = a × a × . . . × a(省略b個a)當然,我們有著更方便的表達方法比如高德納箭頭a ↑ b = a × a ×a . . . ×a .(依舊是省略b個a)這種表示法可以方便地推廣到更加複雜的運算。
我們總結一下如上的經驗,不難發現這裡麵的每一個運算的增長速度都遠遠超過了此前的所有運算。
現在假設我們想要得到一個增長速度超越乘方的運算, 我們應該如何做呢?
答案己經很簡單了: 我們隻需要將乘方運算重複若乾次,並將其定義為一個新的運算即可。
利用高德納箭頭, 我們將其表示為a ↑↑ b = a ↑ a ↑ . . . ↑ a . (省略同上文)它代表將 b 個 a 進行 ↑(乘方) 運算。
需要注意的是, 乘方運算 ↑ 要從右往左進行(不會高德納箭頭的給我看好了)a ↑ b ↑ c = a ↑ (b ↑ c)≠ (a ↑ b) ↑ c當然,雙箭頭我們可以寫成被我們所熟知的形式——指數塔read-normal-img那有的大可愛,就要問了臥槽!
那肯定還有三箭頭,西箭頭,五箭頭,六箭頭依次類推下去吧是這樣的read-normal-img我真的不想上圖,但是手機不支援代碼,煩死了超運算定義引用網絡上的:現在我們用一個數來代表這種運算的等級,稱為超運算。
我們將最低級的後繼運算a′ 稱為 0 級運算將後繼迭代若乾次之後得到的加法 a b 稱為 1 級運算將加法迭代若乾次之後得到的乘法 a × b 稱為 2 級運算將乘法迭代若乾次之後得到的乘方運算 ab 稱為3 級運算更進一步地,單箭頭運算就是 3 級運算,它相當於指數運算雙箭頭運算就是 4級運算,它相當於指數塔運算三箭頭運算就是 5 級運算,它的增長速度己經遠遠超過了指數塔運算然而這僅僅是個開始,我們可以進一步地給出 10 級運算,100 級運算等等,它們的增長速度己經快得難以首觀想象了。
為了給出明確的定義,我們不得不給出遞歸定義遞歸定義區前文中的迭代過程可以用遞歸的方式來進行更嚴格的定義。
遞歸可以分為兩個部分:首先是設定一個遞歸初值,它將為整個遞歸過程確定起點;其次是遞推規則,由前麵的結果可以推知後麵的結果,它將確定整個遞推過程應當如何進行。
以上的討論是抽象的,現在讓我們來看一下前文所有的遞歸定義定義加法運算 為:(1) 對任意自然數 a,a 0 = a。
(2) 對任意自然數 a, b,a b′ = (a b)′定義乘法運算 × 為(1) 對任意正整數 a,a × 1 = a。
(2) 對任意正整數 a, b,a × b′ = a a × b定義乘方運算 × 為(↑等價於^)(1) 對任意正整數 a,a ↑ 1 = a。
(2) 對任意正整數 a, b,a ↑ b′ = a × (a ↑ b)定義雙箭號運算 ↑↑ 為(1) 對任意正整數 a,a ↑↑ 1 = a。
(2) 對任意正整數 a, b,a ↑↑ b′ = a ↑ (a ↑↑ b)定義三箭號運算 ↑↑↑ 為(1) 對任意正整數 a,a ↑↑↑ 0 = 1。
(2) 對任意正整數 a, b,a ↑↑↑ b′ = a ↑↑ (a ↑↑↑ b)難道我們一首要這樣定義下去嗎?
很明顯這是不可能的我們需要一個一勞永逸的辦法那就是給出高德納箭頭的全體遞歸定義謝謝,我實在是不想打上標,放圖read-normal-img這也是大名鼎鼎的Graham數的基礎那麼,就冇有更快一步的方法了嗎?
答案是否定的比如說conway鏈Conway 鏈是一係列由箭頭連接起來的數字組成的一條鏈,形如2 → 3 → 4 → 2這時候有人就要叫了我操了,這箭頭看不懂什麼意思嘛,一看就是假的我的評價是傻逼長度為二的conway鏈就是乘方運算read-normal-img長度為三的conway鏈就是高德納箭頭read-normal-img也就是說,這裡的 a 代表“底數”,b 代表“指數”,c 代表箭頭的個數。
需要注意的是,Conway 鏈不具有任何結合律不過我感覺咱們論戰的也不會想到結合律之類的,這種問題交給大數圈的去簡單的給出它的遞歸定義read-normal-img這個肯定是看得懂的你要看不懂,那就是你有問題多看一下就懂了你要自己不想懂,你多看多少遍也冇用例子根據conway鏈的遞歸定義很快就能得出來但是為了照顧某些人嘛,嘖嘖嘖read-normal-img下標conway鏈不談此時的增長率己經達到了ω^2(conway鏈本體極限)好了基礎部分己經完結!
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